Упр.100 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 100. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С — сторону AD в точке К. Докажите, что четырёхугольник АМСК — параллелограмм.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны, значит $$AD \parallel BC$$, а противоположные углы равны: $$\angle A=\angle C$$.

Рассмотрим прямые $$AD$$ и $$BC$$, пересечённые секущей $$CK$$. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle CKD=\angle BCK.$$

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$CK$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle MAD=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle BCK=\frac{1}{2}\angle C.$$

Но $$\angle A=\angle C$$, следовательно,

$$\angle MAD=\angle BCK.$$

Из равенства этих углов получаем, что $$AM \parallel CK$$.

Теперь в четырёхугольнике $$AMCK$$ имеем:

$$AK \parallel MC$$, так как $$AK \subset AD$$ и $$MC \subset BC$$, а $$AD \parallel BC$$;

$$AM \parallel CK.$$