Упр.100 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Биссектриса угла $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$M$$, а биссектриса угла $$C$$ — сторону $$AD$$ в точке $$K$$. Докажите, что четырёхугольник $$AMCK$$ — параллелограмм.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны, значит $$AD \parallel BC$$, а противоположные углы равны: $$\angle A=\angle C$$.

Рассмотрим прямые $$AD$$ и $$BC$$, пересечённые секущей $$CK$$. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle CKD=\angle BCK.$$

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$CK$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle MAD=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle BCK=\frac{1}{2}\angle C.$$

Но $$\angle A=\angle C$$, следовательно,

$$\angle MAD=\angle BCK.$$

Из равенства этих углов получаем, что $$AM \parallel CK$$.

Теперь в четырёхугольнике $$AMCK$$ имеем:

$$AK \parallel MC$$, так как $$AK \subset AD$$ и $$MC \subset BC$$, а $$AD \parallel BC$$;

$$AM \parallel CK.$$

Следовательно, обе пары противоположных сторон четырёхугольника $$AMCK$$ параллельны, значит $$AMCK$$ — параллелограмм.

Ответ

$$AMCK$$ — параллелограмм.