Упр.999 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, $$M$$ — середина отрезка $$AO$$. Найдите, если это возможно, такое число $$k$$, чтобы выполнялось равенство: а) $$AC=kAO$$; б) $$BO=kBD$$; в) $$OC=kCA$$; г) $$AB=kDC$$; д) $$BC=kDA$$; е) $$AM=kCA$$; ж) $$MC=kAM$$; з) $$AC=kCM$$; и) $$AO=kBD$$.
2. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: $$(-4; 4)$$, $$(-5; 1)$$ и $$(-1; 5)$$. Сколько решений имеет задача?

а) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина $$AC$$. Тогда $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AO}$$ сонаправлены, а $$|AC|=2|AO|$$, поэтому $$k=2$$.

б) Точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, значит $$\overrightarrow{BO}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ сонаправлены, а $$|BO|=\frac12|BD|$$. Следовательно, $$k=\frac12$$.

в) Векторы $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно направлены, причём $$|OC|=\frac12|CA|$$. Значит, $$k=-\frac12$$.

г) В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены: $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ сонаправлены, $$|AB|=|DC|$$. Поэтому $$k=1$$.

д) Векторы $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ противоположно направлены, а $$|BC|=|DA|$$. Следовательно, $$k=-1$$.

е) Точка $$M$$ — середина отрезка $$AO$$, а $$O$$ — середина $$AC$$. Значит, $$AM=\frac12 AO=\frac14 AC$$. Векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно направлены, поэтому $$k=-\frac14$$.

ж) Так как $$M$$ — середина $$AO$$, то $$AM=MO$$, а значит $$MC=MA+AO+OC=AM+2AM+2AM=3AM$$. Векторы $$\overrightarrow{MC}$$ и $$\overrightarrow{AM}$$ сонаправлены, следовательно, $$k=3$$.

з) Отрезок $$CM$$ лежит на прямой $$AC$$, причём $$CM=CA-AM=\frac34 CA$$, а векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{CM}$$ противоположно направлены. Поэтому

$$k=-\frac{4}{3}.$$

и) Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ неколлинеарны, поэтому число $$k$$, при котором $$\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}$$, не существует.

Ответ: а) $$2$$; б) $$\frac12$$; в) $$-\frac12$$; г) $$1$$; д) $$-1$$; е) $$-\frac14$$; ж) $$3$$; з) $$-\frac43$$; и) не существует.