Упр.997 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Один из углов прямоугольной трапеции равен $$120^\circ$$. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны $$a$$.
2. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$, вершины которого имеют координаты $$A(3; 2)$$, $$B(0; 5)$$, $$C(-3; 2)$$, $$D(0; -1)$$, является квадратом.

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(0+3)^2+(5-2)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$CD=\sqrt{(-3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$AD=\sqrt{(3-0)^2+(2+1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$AB=BC=CD=AD,$$ значит, $$ABCD$$ — ромб.

Теперь найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(3+3)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6,$$
$$BD=\sqrt{(0-0)^2+(5+1)^2}=\sqrt{36}=6.$$

У ромба диагонали равны тогда и только тогда, когда он является квадратом. Значит, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.