Упр.996 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Точки $$A$$ и $$C$$ — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки $$B$$ и $$D$$ — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки $$O$$ верно равенство $$OA+OC=OB+OD$$.
- Задание учебника 2023 года. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-5; 13)$$, $$B(3; 5)$$, $$C(-3; -1)$$. Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне $$AC$$; в) средние линии треугольника.
Пусть $$A(-5;13),\ B(3;5),\ C(-3;-1).$$
Координаты середины отрезка находятся по формулам:
$$x_{\text{ср}}=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y_{\text{ср}}=\frac{y_1+y_2}{2}.$$
а) Координаты середин сторон треугольника
Для стороны $$AB$$:
$$M\left(\frac{-5+3}{2};\frac{13+5}{2}\right)=(-1;9).$$
Для стороны $$BC$$:
$$N\left(\frac{3+(-3)}{2};\frac{5+(-1)}{2}\right)=(0;2).$$
Для стороны $$AC$$:
$$K\left(\frac{-5+(-3)}{2};\frac{13+(-1)}{2}\right)=(-4;6).$$
б) Медиана, проведённая к стороне $$AC$$
Медиана к стороне $$AC$$ проходит через вершину $$B$$ и середину стороны $$AC$$, то есть это отрезок $$BK$$.
Найдём его длину:
$$BK=\sqrt{(3-(-4))^2+(5-6)^2}=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$
в) Средние линии треугольника
Средние линии соединяют середины двух сторон треугольника:
$$MN,\ MK,\ NK.$$
Найдём их длины:
$$MN=\sqrt{(-1-0)^2+(9-2)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$
$$MK=\sqrt{(-1-(-4))^2+(9-6)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$
$$NK=\sqrt{(0-(-4))^2+(2-6)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$
Ответ: $$M(-1;9),\ N(0;2),\ K(-4;6);$$ $$BK=5\sqrt{2};$$ $$MN=5\sqrt{2},\ MK=3\sqrt{2},\ NK=4\sqrt{2}.$$
