Упр.994 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$C$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$A$$. Докажите, что для любой точки $$O$$ справедливо равенство $$OC=\frac{n}{m+n}OA+\frac{m}{m+n}OB$$.
2. Докажите, что точка $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$, если:
   а) $$D(1;1)$$, $$A(5;4)$$, $$B(4;-3)$$, $$C(-2;5)$$;
   б) $$D(1;0)$$, $$A(7;-8)$$, $$B(-5;8)$$, $$C(9;6)$$.

а)

Найдём расстояния от точки $$D(1;1)$$ до точек $$A(5;4)$$, $$B(4;-3)$$ и $$C(-2;5)$$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$AD=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
$$DB=\sqrt{(4-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
$$DC=\sqrt{(-2-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Следовательно, $$AD=DB=DC=5$$, то есть точка $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

б)

Найдём расстояния от точки $$D(1;0)$$ до точек $$A(7;-8)$$, $$B(-5;8)$$ и $$C(9;6)$$:

$$AD=\sqrt{(7-1)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
$$DB=\sqrt{(-5-1)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
$$DC=\sqrt{(9-1)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Значит, $$AD=DB=DC=10$$, поэтому точка $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$.