Упр.994 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка С делит отрезок АВ в отношении m:n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство ОС = n/m+nOA + m/m+nOB Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5); б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).

Подробный ответ

Обозначим через $$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\mathbf b,$$ $$\overrightarrow{OC}=\mathbf c.$$
Так как точка $$C$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$A$$, то

$$\frac{AC}{CB}=\frac{m}{n},$$

а значит, вектор

$$\overrightarrow{AC}=\frac{m}{m+n}\,\overrightarrow{AB}.$$

Но

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right).$$

Раскроем скобки:

$$\overrightarrow{OC}=\left(1-\frac{m}{m+n}\right)\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}.$$

Так как

$$1-\frac{m}{m+n}=\frac{n}{m+n},$$

получаем

$$\overrightarrow{OC}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}.$$

Теперь докажем равенство расстояний в каждом пункте, вычислив длины отрезков по формуле расстояния между точками.

а)

$$AD=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5,$$

$$DB=\sqrt{(1-4)^2+(1+3)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$

$$DC=\sqrt{(1+2)^2+(1-5)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Следовательно, $$AD=DB=DC=5.$$