Упр.992 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание $$AD$$ трапеции $$ABCD$$ в три раза больше основания $$BC$$. На стороне $$AD$$ отмечена такая точка $$K$$, что $$AK=\frac{1}{3}AD$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{CK}$$, $$\overrightarrow{KD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{BA}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{CD}$$.
2. Докажите, что треугольник $$ABC$$, вершины которого имеют координаты $$A(4;8)$$, $$B(12;11)$$, $$C(7;0)$$, является равнобедренным, но не равносторонним.

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{BA},\qquad \vec b=\overrightarrow{CD}.$$

Так как $$AD=3BC$$ и $$AK=\frac13AD,$$ то

$$AK=BC.$$

Кроме того, точки $$A,\ K,\ D$$ лежат на одной прямой, а в трапеции $$BC\parallel AD,$$ значит, $$AK\parallel BC.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ABCK$$ — параллелограмм. Тогда

$$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{BA}=\vec a.$$

Далее

$$\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CK}=\vec b-\vec a.$$

Так как в параллелограмме $$AK=BC,$$ а $$AD=3BC,$$ то

$$KD=CD-CK,$$

и, следовательно,

$$\overrightarrow{BC}=\frac12\,\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$

Ответ: $$\overrightarrow{CK}=\vec a,\qquad \overrightarrow{KD}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$