Упр.990 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b= ВС. Даны векторы а {3; 4}, b {6; -8}, с {1;5}. а) Найдите координаты векторов p = a + b,q = b + c, r=2a — b +с, s = а — b — с. б) Найдите |а|, | b |, |р|, |q|.
Так как $$BN=2NC,$$ то точка $$N$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$2:1$$, считая от точки $$B$$. Значит,
$$\vec{BN}=\frac{2}{3}\vec{BC}=\frac{2}{3}\vec b.$$
Теперь выразим $$\vec{AN}$$ через данные векторы:
$$\vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}.$$
Но $$\vec{AB}=-\vec{BA}=-\vec a,$$ поэтому
$$\vec{AN}=-\vec a+\frac{2}{3}\vec b.$$
Подставим координаты векторов $$\vec a=\{3;4\},\ \vec b=\{6;-8\},\ \vec c=\{1;5\}.$$
а)
$$\vec p=\vec a+\vec b=\{3;4\}+\{6;-8\}=\{9;-4\},$$
$$\vec q=\vec b+\vec c=\{6;-8\}+\{1;5\}=\{7;-3\},$$
$$\vec r=2\vec a-\vec b+\vec c=2\{3;4\}-\{6;-8\}+\{1;5\}=\{6;8\}-\{6;-8\}+\{1;5\}=\{0;16\}+\{1;5\}=\{1;21\},$$
$$\vec s=\vec a-\vec b-\vec c=\{3;4\}-\{6;-8\}-\{1;5\}=\{-3;12\}-\{1;5\}=\{-4;7\}.$$
б)
Длина вектора $$\{x;y\}$$ находится по формуле $$|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}.$$ Тогда
$$|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5,$$
$$|\vec b|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10,$$
$$|\vec p|=\sqrt{9^2+(-4)^2}=\sqrt{97},$$
$$|\vec q|=\sqrt{7^2+(-3)^2}=\sqrt{58}.$$
Ответ
$$\vec{AN}=-\vec a+\frac{2}{3}\vec b.$$
а) $$\vec p=\{9;-4\},\ \vec q=\{7;-3\},\ \vec r=\{1;21\},\ \vec s=\{-4;7\}.$$
б) $$|\vec a|=5,\ |\vec b|=10,\ |\vec p|=\sqrt{97},\ |\vec q|=\sqrt{58}.$$
