Упр.989 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что для любых векторов $$x$$ и $$y$$ справедливы неравенства $$|x|-|y|<|x+y|<|x|+|y|$$.
2. Найдите координаты вектора $$p$$ и его длину, если:
   а) $$p=7a-3b$$, $$a=\{1;-1\}$$, $$b=\{5;-2\}$$;
   б) $$p=4a-2b$$, $$a=\{6;3\}$$, $$b=\{5;4\}$$;
   в) $$p=5a-4b$$, $$a=\left\{\frac{3}{5};\frac{1}{5}\right\}$$, $$b=\{6;-1\}$$;
   г) $$p=3(-2a-4b)$$, $$a=\{1;5\}$$, $$b=\{-1;-1\}$$.

Используем правило треугольника для векторов. Для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ выполняется неравенство

$$|\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Применим его к вектору $$\vec x$$ и вектору $$-\vec y$$:

$$|\vec x+(-\vec y)|\le |\vec x|+|-\vec y|.$$

Так как $$|\!-\vec y|=|\vec y|$$, получаем

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Теперь запишем это неравенство в виде

$$|\vec x|=|(\vec x-\vec y)+\vec y|\le |\vec x-\vec y|+|\vec y|,$$

откуда

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x-\vec y|.$$

Аналогично, меняя $$\vec x$$ и $$\vec y$$ местами, получаем

$$|\vec y|-|\vec x|\le |\vec x-\vec y|.$$

Следовательно,

$$\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|\le |\vec x-\vec y|.$$

В частности, для суммы векторов имеем

$$\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Это и требовалось доказать.

Найти координаты вектора $$\vec p$$ и его длину

1. $$\vec p=7\vec a-3\vec b,$$ $$\vec a=(1;-1),\ \vec b=(5;-2).$$

   $$\vec p=7(1;-1)-3(5;-2)=(7;-7)-(15;-6)=(-8;-1).$$

   $$|\vec p|=\sqrt{(-8)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}.$$

2. $$\vec p=4\vec a-2\vec b,$$ $$\vec a=(6;3),\ \vec b=(5;4).$$

   $$\vec p=4(6;3)-2(5;4)=(24;12)-(10;8)=(14;4).$$

   $$|\vec p|=\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}.$$

3. $$\vec p=5\vec a-4\vec b,$$ $$\vec a=\left(\frac35;\frac15\right),\ \vec b=(6;-1).$$

   $$\vec p=5\left(\frac35;\frac15\right)-4(6;-1)=(3;1)-(24;-4)=(-21;5).$$

   $$|\vec p|=\sqrt{(-21)^2+5^2}=\sqrt{441+25}=\sqrt{466}.$$

4. $$\vec p=3(-2\vec a-4\vec b),$$ $$\vec a=(1;5),\ \vec b=(-1;-1).$$

   $$-2\vec a-4\vec b=-2(1;5)-4(-1;-1)=(-2;-10)+(4;4)=(2;-6).$$

   $$\vec p=3(2;-6)=(6;-18).$$

   $$|\vec p|=\sqrt{6^2+(-18)^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}.$$

Ответ

$$\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

а) $$\vec p=(-8;-1),\quad |\vec p|=\sqrt{65}.$$

б) $$\vec p=(14;4),\quad |\vec p|=2\sqrt{53}.$$

в) $$\vec p=(-21;5),\quad |\vec p|=\sqrt{466}.$$

г) $$\vec p=(6;-18),\quad |\vec p|=6\sqrt{10}.$$