Упр.989 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |x|-|y|<|[+y|<|x|+|y|. Найдите координаты вектора р и его длину, если: а) р = 7а- 3b, а {1; -1}, b {5; -2}; б) р = 4а - 2b, а {6; 3}, b {5; 4}; в) р = 5а - 4b, а {3/5;1/5}, b {6; -1}; г) р = 3 (-2а - 4b), а {1; 5}, b {-1; -1}.

Докажем неравенства для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$.

Рассмотрим два случая.

1. Векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ неколлинеарны. Тогда по правилу треугольника

$$|\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$

С другой стороны, из неравенства треугольника для векторов $$\vec x=(\vec x+\vec y)-\vec y$$ и $$\vec y=(\vec x+\vec y)-\vec x$$ получаем

$$|\vec x|\le |\vec x+\vec y|+|\vec y|,$$

откуда

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|.$$

Аналогично

$$|\vec y|-|\vec x|\le |\vec x+\vec y|,$$

значит

$$\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|\le |\vec x+\vec y|.$$

Так как $$\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|\ge |\vec x|-|\vec y|,$$ то

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|<|\vec x|+|\vec y|.$$

2. Векторы $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны. Тогда либо они сонаправлены, и

$$|\vec x+\vec y|=|\vec x|+|\vec y|,$$

либо противоположно направлены, и

$$|\vec x+\vec y|=\bigl||\vec x|-|\vec y|\bigr|.$$

В обоих случаях выполняется

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Следовательно, для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ справедливо

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Найдём координаты вектора $$\vec p$$ и его длину.

а) $$\vec p=7\vec a-3\vec b,$$ $$\vec a=(1;-1),\ \vec b=(5;-2).$$

$$\vec p=7(1;-1)-3(5;-2)=(7;-7)-(15;-6)=(-8;-1).$$

$$|\vec p|=\sqrt{(-8)^2+(-1)^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}.$$

б) $$\vec p=4\vec a-2\vec b,$$ $$\vec a=(6;3),\ \vec b=(5;4).$$

$$\vec p=4(6;3)-2(5;4)=(24;12)-(10;8)=(14;4).$$

$$|\vec p|=\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}.$$

в) $$\vec p=5\vec a-4\vec b,$$ $$\vec a=\left(\frac35;\frac15\right),\ \vec b=(6;-1).$$

$$\vec p=5\left(\frac35;\frac15\right)-4(6;-1)=(3;1)-(24;-4)=(-21;5).$$

$$|\vec p|=\sqrt{(-21)^2+5^2}=\sqrt{441+25}=\sqrt{466}.$$

г) $$\vec p=3(-2\vec a-4\vec b),$$ $$\vec a=(1;5),\ \vec b=(-1;-1).$$

$$-2\vec a-4\vec b=-2(1;5)-4(-1;-1)=(-2;-10)+(4;4)=(2;-6).$$

Тогда

$$\vec p=3(2;-6)=(6;-18).$$

$$|\vec p|=\sqrt{6^2+(-18)^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}.$$

Ответ

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

а) $$\vec p=(-8;-1),\quad |\vec p|=\sqrt{65}.$$

б) $$\vec p=(14;4),\quad |\vec p|=2\sqrt{53}.$$

в) $$\vec p=(-21;5),\quad |\vec p|=\sqrt{466}.$$

г) $$\vec p=(6;-18),\quad |\vec p|=6\sqrt{10}.$$