Упр.988 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если векторы $$m$$ и $$n$$ сонаправлены, то $$\lvert m+n\rvert=\lvert m\rvert+\lvert n\rvert$$, а если $$m$$ и $$n$$ противоположно направлены, причём $$\lvert m\rvert>\lvert n\rvert$$, то $$\lvert m+n\rvert=\lvert m\rvert-\lvert n\rvert$$.
- Векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны. Найдите такое число $$x$$ (если это возможно), чтобы векторы $$p$$ и $$q$$ были коллинеарны:
а) $$p=2a-b,\quad q=a+xb$$;
б) $$p=xa-b,\quad q=a+xb$$;
в) $$p=a+xb,\quad q=a-2b$$;
г) $$p=2a+b,\quad q=xa+b$$.
Пусть векторы $$\vec m$$ и $$\vec n$$ сонаправлены. Тогда их можно отложить на одной прямой в одном направлении, и длина суммы равна сумме длин:
$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|.$$
Если же $$\vec m$$ и $$\vec n$$ противоположно направлены и $$|\vec m|>|\vec n|,$$ то сумма этих векторов направлена так же, как больший из них, а её длина равна разности длин:
$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|.$$
Докажем это на отрезках. В первом случае, если точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой и $$B$$ находится между $$A$$ и $$C,$$ то
$$|AC|=|AB|+|BC|.$$
Так как $$|\vec m|=|AB|,$$ $$|\vec n|=|BC|,$$ а $$|\vec m+\vec n|=|AC|,$$ получаем
$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|.$$
Во втором случае, если векторы противоположно направлены и $$|\vec m|>|\vec n|,$$ то на одной прямой больший вектор равен сумме меньшего и результирующего, поэтому
$$|AB|=|AC|+|BC|.$$
Следовательно,
$$|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|.$$
Что и требовалось доказать.
