Упр.987 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$. Перпендикуляр, проведённый из вершины $$B$$ к большему основанию $$AD$$, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен $$7\ \text{см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.
2. Задание учебника 2023 года. Дан ромб $$ABCD$$, диагонали которого равны $$2a$$ и $$2b$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2$$.

Введём систему координат так, чтобы диагонали ромба совпали с осями координат: $$A(-a;0),\ C(a;0),\ B(0;b),\ D(0;-b).$$ Пусть $$M(x;y)$$ — произвольная точка.

Тогда

$$AM^2=(x+a)^2+y^2,$$
$$DM^2=x^2+(y+b)^2,$$
$$BM^2=x^2+(y-b)^2,$$
$$CM^2=(x-a)^2+y^2.$$

По условию

$$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2.$$

Подставим выражения:

$$(x+a)^2+y^2+x^2+(y+b)^2=x^2+(y-b)^2+(x-a)^2+y^2.$$

Раскроем скобки и сократим одинаковые слагаемые:

$$x^2+2ax+a^2+y^2+x^2+y^2+2by+b^2 = x^2+y^2-2by+b^2+x^2-2ax+a^2+y^2.$$

$$2ax+2by=-2ax-2by,$$
$$4ax+4by=0,$$
$$ax+by=0.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$ задаётся уравнением

$$ax+by=0,$$

то есть это прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная стороне $$AB$$, так как угловой коэффициент стороны $$AB$$ равен $$\frac{b}{a}$$, а у найденной прямой — $$-\frac{a}{b}$$.

Ответ: множество всех точек $$M$$ — прямая $$ax+by=0$$, перпендикулярная стороне ромба $$AB$$ и проходящая через начало координат.