Упр.987 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + DM2 = ВМ2 + СМ2.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ и $$F$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$C$$ на большее основание $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$, $$CF \perp AD$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, а значит прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CDF$$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, $$AH=FD$$.

Пусть средняя линия трапеции пересекает отрезки $$BH$$ и $$CF$$ в точках $$S$$ и $$P$$ соответственно. Тогда в треугольниках $$ABH$$ и $$CDF$$ отрезки $$MS$$ и $$PN$$ являются средними линиями, поэтому

$$MS=\frac{1}{2}AH,\qquad PN=\frac{1}{2}FD.$$

Из равенства $$AH=FD$$ получаем $$MS=PN$$.

Кроме того, в прямоугольнике $$BHCF$$ имеем $$SP=HF$$. Тогда средняя линия трапеции равна

$$MN=MS+SP+PN=\frac{1}{2}AH+HF+\frac{1}{2}FD.$$

Так как $$AH=FD$$, то

$$MN=AH+HF=AF.$$

Но $$AF$$ — это часть основания $$AD$$, а по условию больший из отрезков, на которые перпендикуляр из $$B$$ делит основание $$AD$$, равен $$7$$ см. В равнобедренной трапеции эти отрезки равны, значит каждый из них равен $$7$$ см. Тогда

$$MN=7$$ см.