Упр.986 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
2. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых $$\left(AM^2+DM^2\right)-\left(BM^2+CM^2\right)=2AB^2.$$

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\ D(a;0),\ B(0;b),\ C(a;b),\ M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2,$$
$$AB^2=b^2.$$

Подставим в данное равенство:

$$(AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)=2AB^2$$
$$\bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr)=2b^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2y^2-2(b-y)^2=2b^2$$
$$y^2-(b^2-2by+y^2)=b^2$$
$$2by-b^2=b^2$$
$$2by=2b^2$$
$$y=b.$$

Значит, все точки $$M$$ лежат на прямой $$y=b$$, то есть на прямой, проходящей через точку $$B$$ и параллельной стороне $$AD$$ (или $$BC$$).

Ответ: множество всех точек $$M$$ — прямая, проходящая через $$B$$ и параллельная $$AD$$.