Упр.985 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
2. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$BM^2-AM^2=2AB^2$$.

Введём систему координат так, чтобы точка $$A$$ имела координаты $$A(0;0)$$, а точка $$B$$ — координаты $$B(a;0)$$, где $$a=AB$$.

Пусть $$M(x;y)$$ — произвольная точка искомого множества. Тогда

$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$AB^2=a^2.$$

По условию

$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$

Подставим выражения для квадратов расстояний:

$$(a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2$$
$$a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2$$
$$a^2-2ax=2a^2$$
$$-2ax=a^2$$
$$x=-\frac{a}{2}.$$

Координата $$y$$ в полученном равенстве не участвует, значит все такие точки $$M$$ лежат на прямой $$x=-\dfrac{a}{2}$$. Это прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину отрезка $$AB$$.

Ответ: множество всех точек $$M$$ — прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину отрезка $$AB$$.