Упр.984 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из концов диаметра $$CD$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$CC_1$$ и $$DD_1$$ к касательной, не перпендикулярной к диаметру $$CD$$. Найдите $$DD_1$$, если $$CC_1=11\text{ см}$$, а $$CD=27\text{ см}$$.
2. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2-BM^2=k$$, где $$k$$ — данное число.

Так как $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$, то $$CC_1 \parallel DD_1$$. Кроме того, касательная $$a$$ перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит, $$OO_1 \perp a$$ и потому $$OO_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$$.

Следовательно, четырёхугольник $$D_1DCC_1$$ — трапеция, а отрезок $$OO_1$$ является её средней линией. Тогда

$$OO_1=\frac{DD_1+CC_1}{2}.$$

Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OD=OC=r$$, а $$CD$$ — диаметр, значит

$$r=\frac{CD}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\text{ см}.$$

Подставим в формулу средней линии:

$$13{,}5=\frac{DD_1+11}{2}.$$

Тогда

$$DD_1+11=27,$$

$$DD_1=16\text{ см}.$$

Ответ: $$16\text{ см}$$.