Упр.984 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС1 и DD1 к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD1 если СС1 = 11 см, a CD = 27 см. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 — ВМ2 = k, где k — данное число.

Обозначим касательную прямую через $$a$$. Так как $$CC_1 \perp a$$ и $$DD_1 \perp a$$, то $$CC_1 \parallel DD_1$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, значит $$OO_1 \perp a$$. Следовательно, $$OO_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$$.

Так как $$CD$$ — диаметр, то $$O$$ лежит на прямой $$CD$$ и $$OD=OC=r$$. По условию $$CD=27$$ см, значит

$$r=\frac{CD}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\text{ см}.$$

Рассмотрим трапецию с основаниями $$DD_1$$ и $$CC_1$$. Отрезок $$OO_1$$ проходит через середину диагонали, поэтому по теореме о средней линии трапеции

$$OO_1=\frac{DD_1+CC_1}{2}.$$

Но $$OO_1=r=13{,}5$$ см, а $$CC_1=11$$ см. Тогда

$$13{,}5=\frac{DD_1+11}{2}.$$

Отсюда

$$DD_1+11=27,$$

$$DD_1=16\text{ см}.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$