Упр.982 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка. очка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + 3СМ2 = 4
а) Так как точки деления стороны $$AB$$ делят её на четыре равные части, а через них проведены прямые, параллельные $$BC$$, то по теореме Фалеса соответствующие отрезки на стороне $$AC$$ тоже равны между собой.
Обозначим на стороне $$AC$$ полученные отрезки через $$x$$. Тогда на параллельных прямых отрезки, отсечённые сторонами $$AB$$ и $$AC$$, равны соответственно:
$$x,\;2x,\;3x.$$
Наименьший из них равен $$3{,}4$$ см, значит
$$x=3{,}4.$$
Тогда два других отрезка:
$$2x=6{,}8\text{ см}, \qquad 3x=10{,}2\text{ см}.$$
б) Введём систему координат: $$B(0;0),\ A(-1;0),\ C(1;0).$$ Тогда $$AC=2$$, а точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$.
Пусть $$M(x;y)$$. Тогда
$$AM^2=(x+1)^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-1)^2+y^2.$$
Для пункта а):
$$AM^2+BM^2+CM^2=50.$$
Подставим:
$$ (x+1)^2+y^2+x^2+y^2+(x-1)^2+y^2=50,$$
$$3x^2+3y^2+2=50,$$
$$x^2+y^2=16.$$
Следовательно, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$B(0;0)$$ и радиусом $$4$$.
Для пункта б):
$$AM^2+2BM^2+3CM^2=4.$$
Подставим выражения для квадратов расстояний:
$$ (x+1)^2+y^2+2(x^2+y^2)+3\bigl((x-1)^2+y^2\bigr)=4.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+2x+1+y^2+2x^2+2y^2+3x^2-6x+3+3y^2=4,$$
$$6x^2-4x+6y^2=0,$$
$$3x^2-2x+3y^2=0.$$
Приведём к квадрату:
$$3\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3y^2=0,$$
$$3\left(\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}\right)+3y^2=0,$$
$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+y^2=\frac{1}{9}.$$
Значит, множество всех точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$\left(\frac{1}{3};0\right)$$ и радиусом $$\frac{1}{3}$$.
Ответ
а) $$6{,}8\text{ см}$$ и $$10{,}2\text{ см}$$; б) окружность с центром $$B(0;0)$$ и радиусом $$4$$; в) окружность с центром $$\left(\frac{1}{3};0\right)$$ и радиусом $$\frac{1}{3}$$.
