Упр.981 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

1) Обозначим основания трапеции через $$BC$$ и $$AD$$. Тогда периметр равен

$$P=AB+BC+CD+AD.$$

По условию $$AB=13\text{ см},\ CD=15\text{ см},\ P=48\text{ см}.$$ Следовательно,

$$BC+AD=48-13-15=20\text{ см}.$$

2) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ см}.$$

3) Пусть $$A(0;0)$$, $$B(a;0)$$, где $$a=AB$$. Для точки $$M(x;y)$$ условие $$AM=2BM$$ запишем через координаты:

$$AM=\sqrt{x^2+y^2},$$

$$BM=\sqrt{(x-a)^2+y^2}.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{(x-a)^2+y^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+y^2=4\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$

После преобразований получаем

$$x^2-8ax+4a^2+3y^2=0,$$

$$\left(x-\frac{4}{3}a\right)^2+y^2=\left(\frac{2}{3}a\right)^2.$$

Значит, множество всех таких точек $$M$$ — окружность с центром в точке $$C\left(\frac{4}{3}a;0\right)$$ и радиусом $$R=\frac{2}{3}a.$$

Ответ

$$10\text{ см};$$ множество точек $$M$$ — окружность с центром на прямой $$AB$$ в точке $$C\left(\frac{4}{3}a;0\right)$$ и радиусом $$\frac{2}{3}a.$$