Упр.980 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
2. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны $$10\ \text{см}$$ и $$4\ \text{см}$$, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $$O$$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=2,\qquad BO=OD=\frac{BD}{2}=5.$$

Выберем систему координат так, чтобы $$O(0;0)$$, диагональ $$AC$$ лежала на оси $$Ox$$, а диагональ $$BD$$ — на оси $$Oy$$. Тогда

$$A(-2;0),\quad C(2;0),\quad B(0;5),\quad D(0;-5).$$

Найдём уравнения прямых, содержащих стороны ромба.

1) Прямая $$AB$$ проходит через точки $$A(-2;0)$$ и $$B(0;5)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{5-0}{0-(-2)}=\frac{5}{2}.$$

Значит,

$$y=\frac{5}{2}x+5,$$

или в общем виде

$$5x-2y+10=0.$$

2) Прямая $$BC$$ проходит через точки $$B(0;5)$$ и $$C(2;0)$$. Тогда

$$k=\frac{0-5}{2-0}=-\frac{5}{2},$$

поэтому

$$y=-\frac{5}{2}x+5,$$

или

$$5x+2y-10=0.$$

3) Прямая $$CD$$ проходит через точки $$C(2;0)$$ и $$D(0;-5)$$. Тогда

$$k=\frac{-5-0}{0-2}=\frac{5}{2},$$

следовательно,

$$y=\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x-2y-10=0.$$

4) Прямая $$AD$$ проходит через точки $$A(-2;0)$$ и $$D(0;-5)$$. Тогда

$$k=\frac{-5-0}{0-(-2)}=-\frac{5}{2},$$

значит,

$$y=-\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x+2y+10=0.$$

Ответ: $$AB: 5x-2y+10=0,$$ $$BC: 5x+2y-10=0,$$ $$CD: 5x-2y-10=0,$$ $$AD: 5x+2y+10=0.$$