Упр.980 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64). Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $$O$$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC=\frac{4}{2}=2,\qquad BO=OD=\frac{10}{2}=5.$$

Разместим ромб на координатной плоскости так, чтобы его диагонали лежали на осях координат. Тогда можно взять

$$A(-2;0),\quad C(2;0),\quad B(0;5),\quad D(0;-5).$$

Найдём уравнения прямых, содержащих стороны ромба.

1) Прямая $$AB$$. Она проходит через точки $$A(-2;0)$$ и $$B(0;5)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{5-0}{0-(-2)}=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$y=\frac{5}{2}x+b.$$

Подставим точку $$B(0;5)$$:

$$5=b.$$

Значит,

$$y=\frac{5}{2}x+5,$$

или в общем виде

$$5x-2y+10=0.$$

2) Прямая $$BC$$. Она проходит через точки $$B(0;5)$$ и $$C(2;0)$$. Тогда

$$k=\frac{0-5}{2-0}=-\frac{5}{2}.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{5}{2}x+b.$$

Подставим точку $$B(0;5)$$:

$$5=b.$$

Значит,

$$y=-\frac{5}{2}x+5,$$

или

$$5x+2y-10=0.$$

3) Прямая $$CD$$. Она параллельна прямой $$AB$$, значит её угловой коэффициент тоже равен $$\frac{5}{2}$$:

$$y=\frac{5}{2}x+b.$$

Подставим точку $$C(2;0)$$:

$$0=\frac{5}{2}\cdot 2+b,$$

$$0=5+b,\qquad b=-5.$$

Тогда

$$y=\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x-2y-10=0.$$

4) Прямая $$AD$$. Она параллельна прямой $$BC$$, значит её угловой коэффициент равен $$-\frac{5}{2}$$:

$$y=-\frac{5}{2}x+b.$$

Подставим точку $$D(0;-5)$$:

$$-5=b.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{5}{2}x-5,$$

или

$$5x+2y+10=0.$$

Ответ

$$AB:\ 5x-2y+10=0,$$

$$BC:\ 5x+2y-10=0,$$

$$CD:\ 5x-2y-10=0,$$

$$AD:\ 5x+2y+10=0.$$