Упр.98 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки $$AE$$ и $$DC$$ пересекаются в точке $$B$$, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$EBD$$ равны; б) найдите углы $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, если в треугольнике $$BDE$$ $$\angle D=47^\circ$$, $$\angle E=42^\circ$$.
- В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$\angle A=\angle A_1$$. На сторонах $$AB$$ и $$A_1B_1$$ отмечены точки $$P$$ и $$P_1$$ так, что $$AP=A_1P_1$$. Докажите, что треугольник $$BPC$$ равен треугольнику $$B_1P_1C_1$$.
Так как точки $$A, B, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, B, C$$ — на другой, то углы $$\angle DBE$$ и $$\angle ABC$$ являются вертикальными, значит,
$$\angle DBE=\angle ABC.$$
По условию $$B$$ — середина отрезков $$AE$$ и $$DC$$, следовательно,
$$AB=BE,\qquad DB=BC.$$
Тогда в треугольниках $$ABC$$ и $$EBD$$ равны две стороны и угол между ними:
$$AB=BE,\qquad BC=BD,\qquad \angle ABC=\angle DBE.$$
Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle EBD$$ по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
$$\angle A=\angle E,\qquad \angle C=\angle D.$$
В треугольнике $$BDE$$:
$$\angle D+\angle E+\angle DBE=180^\circ,$$
$$47^\circ+42^\circ+\angle DBE=180^\circ,$$
$$\angle DBE=180^\circ-89^\circ=91^\circ.$$
Но это не требуется для нахождения углов $$A$$ и $$C$$, так как они равны углам $$E$$ и $$D$$ соответственно. Поэтому
$$\angle A=42^\circ,\qquad \angle C=47^\circ.$$
Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle EBD$$; $$\angle A=42^\circ,\ \angle C=47^\circ.$$
