Упр.978 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
- Начертите прямую, заданную уравнением: а) $$y=3$$; б) $$x=-2$$; в) $$y=-4$$; г) $$x=7$$.
Обозначим середины диагоналей трапеции $$ABCD$$ через $$M$$ и $$N$$ так, что $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$.
Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{MN}$$. По правилу сложения векторов получаем:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$
и также
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$
Сложим эти равенства:
$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$
Так как $$M$$ — середина $$AC$$, то $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0$$. Аналогично, поскольку $$N$$ — середина $$BD$$, имеем $$\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0$$. Тогда
$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}.$$
Так как основания трапеции параллельны, то $$AD \parallel BC$$, значит вектор $$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}$$ направлен вдоль оснований. Отсюда $$MN \parallel AD$$ и $$MN \parallel BC$$.
Кроме того, длина отрезка $$MN$$ равна половине разности длин оснований:
$$MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|.$$
Итак, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине разности оснований.
