Упр.977 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах треугольника $$ABC$$ построены параллелограммы $$ABB_1A_2$$, $$BCC_1B_2$$, $$ACC_2A_1$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.
- Напишите уравнения прямых, проходящих через точку $$M(2; 5)$$ и параллельных осям координат.
Обозначим векторы сторон построенных параллелограммов:
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{AA_2}+\overrightarrow{A_1A}$$
$$\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2}$$
$$\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}$$
Так как $$ABB_1A_2$$, $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то
$$\overrightarrow{AA_2}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{BB_2}=\overrightarrow{CC_1},\qquad \overrightarrow{CC_2}=\overrightarrow{AA_1}.$$
Сложим эти равенства:
$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}$$
$$=\left(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_2}\right)+\left(\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_2}\right)+\left(\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_2}\right)$$
$$=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{0}.$$
Значит, сумма трёх векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$, $$\overrightarrow{B_1B_2}$$ и $$\overrightarrow{C_1C_2}$$ равна нулю. Следовательно, эти векторы можно расположить как стороны некоторого треугольника: если отложить последовательно два из них, то третий будет равен и параллелен вектору, соединяющему начало и конец ломаной.
Итак, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.
