Упр.975 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$O$$ — середина медианы $$EG$$ треугольника $$DEF$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{DO}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{ED}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{EF}$$.
- Найдите координаты точек пересечения прямой $$3x-4y+12=0$$ с осями координат. Начертите эту прямую.
Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{ED},\qquad \vec b=\overrightarrow{EF}.$$
Так как $$G$$ — середина $$DF$$, то
$$\overrightarrow{DG}=\frac12\overrightarrow{DF}.$$
Из равенства $$\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}$$ получаем
$$\overrightarrow{DF}=\vec b-\vec a.$$
Тогда
$$\overrightarrow{DG}=\frac12(\vec b-\vec a).$$
Поскольку $$O$$ — середина медианы $$EG$$, то $$O$$ — середина отрезка $$EG$$, значит
$$\overrightarrow{GO}=\frac12\overrightarrow{GE}.$$
Найдём $$\overrightarrow{GE}$$:
$$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DG}-\vec a=-\frac12(\vec b-\vec a)-\vec a=-\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$
Теперь
$$\overrightarrow{GO}=\frac12\left(-\frac12\vec b-\frac12\vec a\right)=-\frac14\vec b-\frac14\vec a.$$
Искомый вектор
$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GO}=\frac12(\vec b-\vec a)-\frac14\vec b-\frac14\vec a=\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$
Ответ: $$\overrightarrow{DO}=\frac14\vec b-\frac34\vec a.$$
