Упр.974 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{BB_1}$$, $$\overrightarrow{CC_1}$$ через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{AC}$$ и $$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$$.
- Задание учебника 2023 года. Даны координаты вершин трапеции $$ABCD$$: $$A(-2;-2)$$, $$B(-3;1)$$, $$C(7;7)$$ и $$D(3;1)$$. Напишите уравнения прямых, содержащих:
а) диагонали $$AC$$ и $$BD$$ трапеции;
б) среднюю линию трапеции.
Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AC},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$
Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон $$BC,\ AC,\ AB$$ соответственно, то
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1} =\vec b+\frac12\overrightarrow{BC}.$$
Но
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec b+\vec a.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AA_1}=\vec b+\frac12(\vec a-\vec b)=\frac12\vec a+\frac12\vec b.$$
Аналогично
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1} =-\vec b+\frac12\overrightarrow{AC} =-\vec b+\frac12\vec a,$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1} =-\vec a+\frac12\overrightarrow{AB} =-\vec a+\frac12\vec b.$$
Ответ: $$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec b-\vec a.$$
