Упр.974 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА1, ВВ1, СС1 через векторы а = АС и b = АВ. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В(-3;1), С (7; 7) и D(3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

1) Выразим векторы медиан через $$\vec a=\overrightarrow{AC},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$

Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон $$BC,\ AC,\ AB$$ соответственно, то

$$\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{AB_1}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Найдём сначала $$\overrightarrow{BC}:$$

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec b+\vec a=\vec a-\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1} =\vec b+\frac12(\vec a-\vec b) =\frac12\vec a+\frac12\vec b,$$

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1} =-\vec b+\frac12\vec a,$$

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1} =-\vec a+\frac12\vec b.$$

2) Уравнение прямой $$AC$$.

Через точки $$A(-2;-2)$$ и $$C(7;7)$$ проходит прямая с угловым коэффициентом

$$k=\frac{7-(-2)}{7-(-2)}=1,$$

значит, её уравнение имеет вид

$$y=x,$$

или

$$x-y=0.$$

3) Уравнение прямой $$BD$$.

Через точки $$B(-3;1)$$ и $$D(3;1)$$ проходит горизонтальная прямая, поэтому

$$y=1,$$

или

$$y-1=0.$$

4) Уравнение средней линии $$MN$$.

Найдём середины боковых сторон трапеции:

$$M\left(\frac{-2+(-3)}{2};\frac{-2+1}{2}\right)=\left(-\frac52;-\frac12\right),$$

$$N\left(\frac{7+3}{2};\frac{7+1}{2}\right)=(5;4).$$

Прямая $$MN$$ проходит через точки $$M\left(-\frac52;-\frac12\right)$$ и $$N(5;4)$$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{4-(-\frac12)}{5-(-\frac52)}=\frac{\frac92}{\frac{15}{2}}=\frac35.$$

Тогда

$$y+\frac12=\frac35\left(x+\frac52\right).$$

Умножим на $$10$$:

$$10y+5=6x+15,$$

$$6x-10y+10=0,$$

или после деления на $$2$$:

$$3x-5y+5=0.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec b-\vec a.$$

а) $$AC:\ x-y=0,$$ $$BD:\ y-1=0.$$
б) $$MN:\ 3x-5y+5=0.$$