Упр.972 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$, а $$M$$ — такая точка на стороне $$AD$$, что $$AM=MD$$. Выразите через векторы $$x=AD$$, $$y=AB$$ следующие векторы:
а) $$AC$$, $$AO$$, $$CO$$, $$DO$$, $$AD+BC$$, $$AD+CO$$, $$CO+OA$$;
б) $$AM$$, $$MC$$, $$BM$$, $$OM$$.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
а) $$A(1;-1)$$ и $$B(-3;2)$$;
б) $$C(2;5)$$ и $$D(5;2)$$;
в) $$M(0;1)$$ и $$N(-4;-5)$$.

Подробный ответ

Пусть $$\vec x=\overrightarrow{AD},\qquad \vec y=\overrightarrow{AB}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec y,\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec x+\vec y,$$
$$\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec x+\vec y).$$

Тогда

$$\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{AO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$
$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AO}=-\vec x+\frac12(\vec x+\vec y)=-\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec x+\vec x=2\vec x,$$
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\vec x-\frac12\vec x-\frac12\vec y=\frac12\vec x-\frac12\vec y,$$
$$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}=-(\vec x+\vec y)=-\vec x-\vec y.$$

Так как $$AM=MD,$$ то точка $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, значит

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec x.$$

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac12\vec x+\vec y,$$
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec y+\frac12\vec x,$$
$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=-\frac12(\vec x+\vec y)+\frac12\vec x=-\frac12\vec y.$$

Ответ:
$$\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y),\quad \overrightarrow{CO}=-\frac12\vec x-\frac12\vec y,\quad \overrightarrow{DO}=-\frac12\vec x+\frac12\vec y,$$
$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\vec x,\quad \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CO}=\frac12\vec x-\frac12\vec y,\quad \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=-\vec x-\vec y,$$
$$\overrightarrow{AM}=\frac12\vec x,\quad \overrightarrow{MC}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{BM}=\frac12\vec x-\vec y,\quad \overrightarrow{OM}=-\frac12\vec y.$$