Упр.971 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы AM и MD через векторы а = AD и b = АВ. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{AD},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec a.$$
Точка $$M$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$BM:MC=3:1,$$ значит
$$\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\vec a,\qquad \overrightarrow{MC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}\vec a.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec b+\frac{3}{4}\vec a.$$
Для вектора $$\overrightarrow{MD}$$ получаем
$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}=\frac{1}{4}\vec a+\overrightarrow{CD}.$$
В параллелограмме $$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\vec b,$$ поэтому
$$\overrightarrow{MD}=\frac{1}{4}\vec a-\vec b.$$
Теперь найдём уравнение окружности. Пусть её центр имеет вид $$O(0;y),$$ так как он лежит на оси ординат.
Поскольку точки $$A(-3;0)$$ и $$B(0;9)$$ лежат на окружности, то
$$OA=OB.$$
Запишем расстояния:
$$OA=\sqrt{(-3-0)^2+(0-y)^2}=\sqrt{9+y^2},$$
$$OB=\sqrt{(0-0)^2+(9-y)^2}=|9-y|.$$
Приравниваем квадраты:
$$9+y^2=(9-y)^2,$$
$$9+y^2=81-18y+y^2,$$
$$18y=72,$$
$$y=4.$$
Значит, центр окружности $$O(0;4),$$ а радиус
$$R=OA=\sqrt{9+4^2}=\sqrt{25}=5.$$
Следовательно, уравнение окружности:
$$x^2+(y-4)^2=25.$$
Ответ
$$\overrightarrow{AM}=\vec b+\frac{3}{4}\vec a,\qquad \overrightarrow{MD}=\frac{1}{4}\vec a-\vec b,$$
$$x^2+(y-4)^2=25.$$
