Упр.961 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство $$|x-y|<|x|+|y|$$. В каком случае $$|x-y|=|x|+|y|$$?

Окружность задана уравнением $$\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=16$$. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек $$A(-2;4)$$, $$B(-5;-3)$$, $$C(-7;-2)$$ и $$D(1;5)$$ лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ по неравенству треугольника имеем

$$|\vec x-\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда векторы $$\vec x$$ и $$-\vec y$$ сонаправлены, то есть когда $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены. Также равенство выполняется в случае, если один из векторов нулевой.

Следовательно,

$$|\vec x-\vec y|=|\vec x|+|\vec y|$$

тогда и только тогда, когда $$\vec x$$ и $$\vec y$$ коллинеарны и противоположно направлены, либо $$\vec x=\vec 0$$, либо $$\vec y=\vec 0$$.

Для окружности

$$\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=16$$

центр окружности $$O(-5;1)$$, радиус $$R=4$$.

Проверим точки по значению выражения $$\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2$$:

• $$A(-2;4):\;(-2+5)^2+(4-1)^2=3^2+3^2=18>16,$$ значит, точка $$A$$ лежит вне круга.
• $$B(-5;-3):\;(-5+5)^2+(-3-1)^2=0^2+(-4)^2=16,$$ значит, точка $$B$$ лежит на окружности.
• $$C(-7;-2):\;(-7+5)^2+(-2-1)^2=(-2)^2+(-3)^2=13<16,$$ значит, точка $$C$$ лежит внутри круга.
• $$D(1;5):\;(1+5)^2+(5-1)^2=6^2+4^2=52>16,$$ значит, точка $$D$$ лежит вне круга.

Ответ: внутри круга — $$C$$; на окружности — $$B$$; вне круга — $$A$$ и $$D$$.