Упр.959 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = АВ и b = AD векторы: DC + CB, ВО + ОС, ВО — ОС, ВА — DA. Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2 + у2 = 9; б) (х — 1)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + 5)2 + (у — 3)2 = 25; г) (х — 1)2 + у2 = 4; д) х2 + (у + 2)2 = 2.

Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{AD}$$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec a-\vec b.$$

Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OC}=\frac12\overrightarrow{BC}.$$

Но $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b$$, значит

$$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}=\vec b.$$

Далее

$$\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{BO}=\vec 0.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}=-\vec b,$$

поэтому

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}=-\vec a-(-\vec b)=\vec b-\vec a.$$

Для окружностей используем стандартный вид уравнения $$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=R^2$$, где центр $$O(x_0;y_0)$$ и радиус $$R$$.

а) $$x^2+y^2=9$$, значит $$O(0;0)$$, $$R=3$$.

б) $$(x-1)^2+(y+2)^2=4$$, значит $$O(1;-2)$$, $$R=2$$.

в) $$(x+5)^2+(y-3)^2=25$$, значит $$O(-5;3)$$, $$R=5$$.

г) $$(x-1)^2+y^2=4$$, значит $$O(1;0)$$, $$R=2$$.

д) $$x^2+(y+2)^2=2$$, значит $$O(0;-2)$$, $$R=\sqrt2$$.

Ответ

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a.$$

а) $$O(0;0),\ R=3$$; б) $$O(1;-2),\ R=2$$; в) $$O(-5;3),\ R=5$$; г) $$O(1;0),\ R=2$$; д) $$O(0;-2),\ R=\sqrt2$$.