Упр.958 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелограмм $$ABCD$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{AC}$$ через векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$, если:
   а) $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$;
   б) $$\vec a=\overrightarrow{CB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{CD}$$;
   в) $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{DA}$$.
2. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Докажите, что для произвольной точки $$M$$ плоскости справедливо равенство $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$$.

Пусть $$\vec{AB}=\vec a$$, $$\vec{BC}=\vec b$$.

а)

По правилу треугольника

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec a+\vec b.$$

б)

Так как в параллелограмме $$\vec{AD}=\vec{BC}$$ и $$\vec{DC}=\vec{AB},$$ то

$$\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}=\vec{BC}+\vec{AB}.$$

Но $$\vec{BC}=\vec b,$$ а $$\vec{AB}=\vec a,$$ значит

$$\vec{AC}=\vec a+\vec b.$$

Если же в пункте б) задано $$\vec a=\vec{CB},\ \vec b=\vec{CD},$$ то тогда

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=-\vec{CB}-\vec{CD}=-\vec a-\vec b.$$

в)

Так как $$\vec{DA}=-\vec{AD}=-\vec{BC},$$ то

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec a-\vec b.$$

Ответ: а) $$\vec a+\vec b$$; б) $$-\vec a-\vec b$$; в) $$\vec a-\vec b$$.