Упр.957 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$ВВ_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{В_1С}$$, $$\overrightarrow{ВВ_1}$$, $$\overrightarrow{ВА}$$, $$\overrightarrow{ВС}$$ через $$х=\overrightarrow{АВ_1}$$ и $$у=\overrightarrow{АВ}$$.
- Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
Пусть $$\vec{x}=\overrightarrow{AB_1},\qquad \vec{y}=\overrightarrow{AB}.$$
Так как $$BB_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$B_1$$ — середина отрезка $$AC$$, значит
$$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{B_1C}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{B_1C}=\vec{x}.$$
Далее по правилу треугольника
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1}=\vec{x}-\vec{y}.$$
Также
$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{y}.$$
Наконец,
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}.$$
Так как $$B_1$$ — середина $$AC$$, то
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C}=\vec{x}+\vec{x}=2\vec{x}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{BC}=-\vec{y}+2\vec{x}=2\vec{x}-\vec{y}.$$
Ответ: $$\overrightarrow{B_1C}=\vec{x},\ \overrightarrow{BB_1}=\vec{x}-\vec{y},\ \overrightarrow{BA}=-\vec{y},\ \overrightarrow{BC}=2\vec{x}-\vec{y}.$$
