Упр.956 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{BM}$$, $$\overrightarrow{NC}$$, $$\overrightarrow{MN}$$, $$\overrightarrow{BN}$$ через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{AM}$$ и $$\vec{b}=\overrightarrow{AN}$$.
- Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{AM},\qquad \vec b=\overrightarrow{AN}.$$
Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}=-\vec a,$$
поскольку $$\overrightarrow{AM}=\vec a$$, а $$\overrightarrow{MA}=-\vec a$$.
Далее, так как $$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}$$, получаем
$$\overrightarrow{NC}=\vec b.$$
По правилу треугольника
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.$$
И наконец,
$$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}=-\vec a+(\vec b-\vec a)=\vec b-2\vec a.$$
Ответ
$$\overrightarrow{BM}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{NC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{MN}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{BN}=\vec b-2\vec a.$$
