Упр.956 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = AM и b = AN. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{AM}$$, $$\vec b=\overrightarrow{AN}$$.

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то

$$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=-\vec a,$$

$$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}=\vec b.$$

Найдём остальные векторы:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.$$

$$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}=-\vec a+(\vec b-\vec a)=\vec b-2\vec a.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BM}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{NC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{MN}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{BN}=\vec b-2\vec a.$$

Докажем, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$AB=CD$$. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы ось $$Ox$$ совпадала с осью симметрии трапеции. Тогда можно задать точки:

$$A(-a;0),\quad D(a;0),\quad B(-b;h),\quad C(b;h).$$

Вычислим длины диагоналей:

$$BD=\sqrt{(a+b)^2+h^2},$$

$$AC=\sqrt{(a+b)^2+h^2}.$$

Значит, $$BD=AC$$, то есть диагонали равнобедренной трапеции равны.

Сформулируем обратное утверждение: если в трапеции диагонали равны, то эта трапеция равнобедренная.

Докажем его. Пусть в трапеции $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, выполнено $$BD=AC$$. Введём координаты:

$$A(-a;0),\quad D(a;0),\quad B(-b;h),\quad C(c;h).$$

Тогда

$$AC^2=(a+c)^2+h^2,$$

$$BD^2=(a-b)^2+h^2.$$

Из условия $$AC=BD$$ получаем