Упр.953 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$X$$, $$Y$$ и $$Z$$ — произвольные точки. Докажите, что векторы $$р=XY+ZX+YZ$$, $$q=(XY-XZ)+YZ$$ и $$r=(ZY-XY)-ZX$$ нулевые.
2. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Пусть $$\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ},$$ $$\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ},$$ $$\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}.$$

Используем правило сложения векторов по многоугольнику:

$$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ},$$
$$\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZY},$$
$$\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{YX}.$$

Тогда

$$\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0,$$

$$\vec q=(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ})-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{XZ}-\overrightarrow{XZ}=\vec 0,$$

$$\vec r=(\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX})-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{ZX}-\overrightarrow{ZX}=\vec 0.$$

Следовательно, $$\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0,$$ что и требовалось доказать.