Упр.952 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:

а) $$({\mathrm{АВ}}+{\mathrm{ВС}}-{\mathrm{МС}})+({\mathrm{МD}}-{\mathrm{KD}})$$;

б) $$({\mathrm{СВ}}+{\mathrm{АС}}+{\mathrm{BD}})-({\mathrm{МК}}+{\mathrm{KD}})$$.
Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$AB$$ — гипотенуза, а $$M$$ — её середина. Докажем, что $$MA=MB=MC$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $$C(0;0)$$, $$A(0;b)$$, $$B(a;0)$$. Тогда середина отрезка $$AB$$ имеет координаты

$$M\left(\frac a2;\frac b2\right).$$

Найдём расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника:

$$MA=\sqrt{\left(0-\frac a2\right)^2+\left(b-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MB=\sqrt{\left(a-\frac a2\right)^2+\left(0-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2},$$

$$MC=\sqrt{\left(0-\frac a2\right)^2+\left(0-\frac b2\right)^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{a^2+b^2}.$$

Следовательно,

$$MA=MB=MC,$$

то есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.