Упр.951 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: B треугольнике ABC АВ = 6, ВС = 8, угол B = 90°. Найдите: а) |ВА| — |ВС| и |ВА-ВС|; б) |АВ| + |ВС| и |АВ + ВС|; в) |ВА| +|ВС| и |ВА + ВС|; г) |АВ| — |ВС| и |АВ — ВС|. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), B (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3); б) А (4; 1), B (3; 5), С (-1; 4), D (0; 0).

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, где $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$\angle B=90^\circ$$, найдём гипотенузу:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Тогда:

а) $$|BA|-|BC|=6-8=-2,$$ а

$$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=AC=10.$$

б) $$|AB|+|BC|=6+8=14,$$ а

$$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=10.$$

в) $$|BA|+|BC|=6+8=14,$$ а

$$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{BD}|.$$

Так как в прямоугольнике, построенном на векторах $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$, диагональ $$BD$$ равна

$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$

то $$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=10.$$

г) $$|AB|-|BC|=6-8=-2,$$ а

$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{DB}|.$$

Следовательно,

$$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|=BD=10.$$

2) Проверим, что $$ABCD$$ — прямоугольник, и найдём площадь.

а) $$A(-3;-1),\ B(1;-1),\ C(1;-3),\ D(-3;-3).$$

Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(1+3)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{16}=4,$$

$$BC=\sqrt{(1-1)^2+(-3+1)^2}=\sqrt{4}=2,$$

$$CD=\sqrt{(-3-1)^2+(-3+3)^2}=\sqrt{16}=4,$$

$$AD=\sqrt{(-3+3)^2+(-3+1)^2}=\sqrt{4}=2.$$

Получаем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит $$ABCD$$ — параллелограмм. Кроме того,

$$AB\perp BC,$$ так как $$AB$$ горизонтален, а $$BC$$ вертикален. Следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Площадь:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\cdot 2=8.$$

б) $$A(4;1),\ B(3;5),\ C(-1;4),\ D(0;0).$$

Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$

$$BC=\sqrt{(-1-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17},$$

$$CD=\sqrt{(0+1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$

$$AD=\sqrt{(0-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.$$

Значит, $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм. Проверим диагонали:

$$AC=\sqrt{(-1-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34},$$

$$BD=\sqrt{(0-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.$$

Так как в параллелограмме диагонали равны, то $$ABCD$$ — прямоугольник.

Площадь:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}=17.$$

Ответ

1) а) $$-2$$ и $$10$$; б) $$14$$ и $$10$$; в) $$14$$ и $$10$$; г) $$-2$$ и $$10$$.

2) а) $$S_{ABCD}=8$$; б) $$S_{ABCD}=17$$.