Упр.951 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$\angle B=90^\circ$$. Найдите:
а) $$|ВА|-|ВС|$$ и $$|ВА-ВС|$$;
б) $$|АВ|+|ВС|$$ и $$|АВ+ВС|$$;
в) $$|ВА|+|ВС|$$ и $$|ВА+ВС|$$;
г) $$|АВ|-|ВС|$$ и $$|АВ-ВС|$$. - Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) $$A(-3;-1)$$, $$B(1;-1)$$, $$C(1;-3)$$, $$D(-3;-3)$$;
б) $$A(4;1)$$, $$B(3;5)$$, $$C(-1;4)$$, $$D(0;0)$$.
а) Так как $$AB=6$$, $$BC=8$$ и $$\angle B=90^\circ$$, то по теореме Пифагора
$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$
Тогда
$$|\,\overrightarrow{BA}\,|-|\,\overrightarrow{BC}\,|=6-8=-2,$$
$$|\,\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{CA}\,|=AC=10.$$
б) Аналогично
$$|\,\overrightarrow{AB}\,|+|\,\overrightarrow{BC}\,|=6+8=14,$$
$$|\,\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{AC}\,|=AC=10.$$
в) Сумма модулей равна
$$|\,\overrightarrow{BA}\,|+|\,\overrightarrow{BC}\,|=6+8=14.$$
По правилу параллелограмма
$$|\,\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{BD}\,|.$$
Найдём диагональ $$BD$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$
$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$
значит, $$|\,\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\,|=10.$$
г) Имеем
$$|\,\overrightarrow{AB}\,|-|\,\overrightarrow{BC}\,|=6-8=-2.$$
Кроме того,
$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB},$$
поэтому
$$|\,\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\,|=|\,\overrightarrow{DB}\,|=BD=10.$$
Ответ: а) $$-2$$ и $$10$$; б) $$14$$ и $$10$$; в) $$14$$ и $$10$$; г) $$-2$$ и $$10$$.
