Упр.950 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |АВ + ВС|, б) |АВ + АС|; в) |АВ + СВ|; г) |ВА-ВС|; д) |АВ — АС|. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М (1; 1), N(6; 1), Р(7; 4), Q (2; 4); б) М (-5; 1), N(-4; 4), Р(-1; 5), Q(-2; 2).

Докажем, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдём его диагонали.

а) Для точек $$M(1;1),\ N(6;1),\ P(7;4),\ Q(2;4)$$ найдём длины сторон:

$$ MN=\sqrt{(6-1)^2+(1-1)^2}=5, $$
$$ PQ=\sqrt{(7-2)^2+(4-4)^2}=5, $$
$$ NP=\sqrt{(7-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}, $$
$$ MQ=\sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}. $$

Получили $$MN=PQ$$ и $$NP=MQ$$, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь найдём диагонали:

$$ NQ=\sqrt{(2-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5, $$
$$ MP=\sqrt{(7-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}. $$

б) Для точек $$M(-5;1),\ N(-4;4),\ P(-1;5),\ Q(-2;2)$$:

$$ MN=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}, $$
$$ PQ=\sqrt{(-2+1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}, $$
$$ NP=\sqrt{(-1+4)^2+(5-4)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, $$
$$ MQ=\sqrt{(-2+5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}. $$

Следовательно, $$MN=PQ$$ и $$NP=MQ$$, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Диагонали:

$$ NQ=\sqrt{(-2+4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}, $$
$$ MP=\sqrt{(-1+5)^2+(5-1)^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}. $$

Ответ

а) $$NQ=5,\ MP=3\sqrt{5}$$; б) $$NQ=2\sqrt{2},\ MP=4\sqrt{2}$$.