Упр.949 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если $$А, В, С, D$$ — произвольные точки, то $$АВ + ВС + CD + DA = 0$$.
2. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) $$А(1; 2)$$ и $$B(-3; 4)$$; б) $$С(1; 1)$$ и $$D(3; 5)$$.

Пусть искомая точка лежит на оси абсцисс, тогда её ордината равна $$0$$.

а)

Обозначим искомую точку через $$E(x;0)$$. По условию она равноудалена от точек $$A(1;2)$$ и $$B(-3;4)$$, значит

$$AE=BE.$$

Вычислим расстояния:

$$AE=\sqrt{(x-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{(x-1)^2+4},$$
$$BE=\sqrt{(x+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{(x+3)^2+16}.$$

Тогда

$$\sqrt{(x-1)^2+4}=\sqrt{(x+3)^2+16}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-1)^2+4=(x+3)^2+16$$
$$x^2-2x+1+4=x^2+6x+9+16$$
$$-2x+5=6x+25$$
$$-8x=20$$
$$x=-\frac{5}{2}.$$

Следовательно, $$E\left(-\frac{5}{2};0\right)$$.

б)

Обозначим искомую точку через $$F(x;0)$$. По условию $$FC=FD$$, где $$C(1;1)$$ и $$D(3;5)$$.

$$FC=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+1},$$
$$FD=\sqrt{(x-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{(x-3)^2+25}.$$

Получаем уравнение:

$$\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{(x-3)^2+25}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-1)^2+1=(x-3)^2+25$$
$$x^2-2x+1+1=x^2-6x+9+25$$
$$-2x+2=-6x+34$$
$$4x=32$$
$$x=8.$$

Следовательно, $$F(8;0)$$.

Ответ

а) $$E\left(-\frac{5}{2};0\right)$$; б) $$F(8;0)$$.