Упр.949 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если А, В, С, и D — произвольные точки, то АВ + ВС + CD + DA = 0. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и B (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).
Обозначим векторы последовательных звеньев ломаной $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{DA}.$$
По правилу многоугольника их сумма равна вектору, соединяющему начальную и конечную точки ломаной:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}.$$
Но $$\overrightarrow{AA}=\vec{0}$$ как нулевой вектор. Следовательно,
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}.$$
Это и требовалось доказать.
Теперь найдём точки на оси абсцисс, равноудалённые от данных пар точек.
а) Пусть искомая точка $$E(x;0).$$ Тогда по условию $$EA=EB.$$
Запишем расстояния:
$$EA=\sqrt{(x-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{(x-1)^2+4},$$
$$EB=\sqrt{(x+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{(x+3)^2+16}.$$
Приравниваем:
$$\sqrt{(x-1)^2+4}=\sqrt{(x+3)^2+16}.$$
Возводим в квадрат:
$$ (x-1)^2+4=(x+3)^2+16 $$
$$ x^2-2x+1+4=x^2+6x+9+16 $$
$$ -2x+5=6x+25 $$
$$ -8x=20 $$
$$ x=-2{,}5. $$
Значит, $$E(-2{,}5;0).$$
б) Пусть искомая точка $$F(x;0).$$ Тогда $$CF=FD.$$
Запишем расстояния:
$$CF=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+1},$$
$$FD=\sqrt{(x-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{(x-3)^2+25}.$$
Приравниваем:
$$\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{(x-3)^2+25}.$$
Возводим в квадрат:
$$ (x-1)^2+1=(x-3)^2+25 $$
$$ x^2-2x+1+1=x^2-6x+9+25 $$
$$ -2x+2=-6x+34 $$
$$ 4x=32 $$
$$ x=8. $$
Следовательно, $$F(8;0).$$
Ответ
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0};$$ а) $$E(-2{,}5;0);$$ б) $$F(8;0).$$
