Упр.947 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1).

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину стороны $$AC$$.

а) Для точек $$A(0;1),\ B(1;-4),\ C(5;2)$$ найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$

$$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

Получаем $$AB=AC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Так как равные стороны $$AB$$ и $$AC$$ выходят из вершины $$A$$, то медиана $$AM$$ к основанию $$BC$$ является высотой.

Найдём координаты середины отрезка $$BC$$:

$$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+5}{2}=3,$$

$$y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1.$$

Значит, $$M(3;-1)$$.

Тогда

$$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}=13.$$

б) Для точек $$A(-4;1),\ B(-2;4),\ C(0;1)$$ найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4$$

Получаем $$AB=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.