Упр.947 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан произвольный четырёхугольник $$MNPQ$$. Докажите, что:
а) $$MN+NQ=MP+PQ$$;
б) $$MN+NP=MQ+QP$$.
Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты:
а) $$A(0;1),\ B(1;-4),\ C(5;2)$$;
б) $$A(-4;1),\ B(-2;4),\ C(0;1)$$.

Подробный ответ

а) Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$
$$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$
$$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

Получаем $$AB=AC=\sqrt{26}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Так как основание равнобедренного треугольника — $$BC$$, то медиана $$AM$$ к основанию является высотой. Найдём координаты середины отрезка $$BC$$:

$$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+5}{2}=3$$
$$y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Следовательно, $$M(3;-1)$$.

Теперь найдём высоту $$AM$$:

$$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}=13$$

б) Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
$$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
$$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4$$

Итак, $$AB=BC=\sqrt{13}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Поскольку основание равно $$AC$$, медиана $$BM$$ к основанию является высотой. Найдём середину отрезка $$AC$$: