Упр.927 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
2. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$ — коллинеарные векторы.

По свойству коллинеарных векторов один из них является скалярным множителем другого, то есть

$$\vec a=k\vec b$$

для некоторого числа $$k$$. Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2.$$

Следовательно, координаты одного вектора пропорциональны координатам другого:

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Докажем обратное утверждение.

Пусть для векторов $$\vec a=(x_1;y_1)$$ и $$\vec b=(x_2;y_2)$$ выполнено

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad y_1=ky_2,$$

то есть

$$\vec a=k\vec b.$$

А значит, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Итак, если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны; и наоборот, если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.