Упр.922 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку. Найдите координаты вектора а + b, если: а) а {3; 2}, b {2; 5}; б) а {3; -4}, b {1; 5}; в) а {-4; -2}, b {5; 3}; г) а {2; 7}, b {-3; -7}.
Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$M$$ — данная точка внутри неё. Рассмотрим любую хорду, проходящую через точку $$M$$.
Из всех хорд, проходящих через одну и ту же внутреннюю точку, наименьшей будет та, которая перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Поэтому нужно:
- провести диаметр $$OM$$;
- через точку $$M$$ провести прямую, перпендикулярную $$OM$$;
- точки пересечения этой прямой с окружностью обозначить $$A$$ и $$B$$.
Тогда хорда $$AB$$ и будет искомой наименьшей хордой.
Найдём координаты суммы векторов по правилу сложения координат:
$$\vec a+\vec b=(x_a+x_b;\,y_a+y_b)$$
а) $$\vec a=(3;2),\ \vec b=(2;5)$$
$$\vec a+\vec b=(3+2;\,2+5)=(5;7)$$
б) $$\vec a=(3;-4),\ \vec b=(1;5)$$
$$\vec a+\vec b=(3+1;\,-4+5)=(4;1)$$
в) $$\vec a=(-4;-2),\ \vec b=(5;3)$$
$$\vec a+\vec b=(-4+5;\,-2+3)=(1;1)$$
г) $$\vec a=(2;7),\ \vec b=(-3;-7)$$
$$\vec a+\vec b=(2-3;\,7-7)=(-1;0)$$
Ответ
Искомая хорда проходит через точку $$M$$ перпендикулярно радиусу $$OM$$.
$$\vec a+\vec b:$$ а) $$\{5;7\}$$; б) $$\{4;1\}$$; в) $$\{1;1\}$$; г) $$\{-1;0\}$$.
