Упр.921 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны окружность с центром $$O$$, точка $$M$$ и отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте прямую $$p$$ так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную $$P_1Q_1$$, и расстояние от точки $$M$$ до прямой $$p$$ равнялось $$P_2Q_2$$.
Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие условию:
а) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=5\mathbf{i}-2\mathbf{j}$$;
б) $$-3\mathbf{i}+y\mathbf{j}=x\mathbf{i}+7\mathbf{j}$$;
в) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=-4\mathbf{i}$$;
г) $$x\mathbf{i}+y\mathbf{j}=0$$.

Подробный ответ

Пусть требуется построить прямую $$p$$ так, чтобы окружность с центром $$O$$ отсекала на ней хорду, равную $$P_1Q_1$$, а расстояние от точки $$M$$ до прямой $$p$$ было равно $$P_2Q_2$$.

Для этого построим вспомогательные окружности.

Отметим на данной окружности произвольную точку $$A$$ и построим хорду $$AB$$, равную $$P_1Q_1$$.
Пусть $$C$$ — середина хорды $$AB$$. Тогда прямая, проходящая через $$C$$ и перпендикулярная $$AB$$, является серединным перпендикуляром к хорде $$AB$$.
Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OC$$.
Построим окружность с центром $$M$$ и радиусом $$P_2Q_2$$.
Искомая прямая $$p$$ должна быть общей касательной к этим двум окружностям. Тогда расстояние от $$M$$ до прямой $$p$$ равно $$P_2Q_2$$, а расстояние от центра $$O$$ до $$p$$ равно $$OC$$, значит, окружность с центром $$O$$ пересекает $$p$$ по хорде $$AB$$, равной $$P_1Q_1$$.

Следовательно, искомая прямая $$p$$ — общая касательная к построенным окружностям.