Упр.921 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны окружность с центром О, точка М и отрезки P1Q1 и P2Q2- Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P1Q1, и расстояние от точки М до прямой р равнялось P2Q2 Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: a) xi + yj = 5i-2j; б) -3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj=-4i; г) xi + yj = 0.

Подробный ответ

Пусть искомая прямая обозначена через $$p$$.

Чтобы окружность отсекала на прямой $$p$$ хорду, равную $$P_1Q_1$$, достаточно построить на окружности хорду той же длины и провести через её середину прямую, перпендикулярную этой хорде: такая прямая будет проходить на нужном расстоянии от центра окружности.

Построим хорду $$AB$$ так, чтобы $$AB=P_1Q_1$$. Обозначим через $$C$$ середину хорды $$AB$$. Тогда прямая, проходящая через точку $$C$$ и перпендикулярная $$AB$$, является серединным перпендикуляром к хорде, а значит, она и есть искомая прямая $$p$$, если расстояние от точки $$M$$ до неё равно $$P_2Q_2$$.

Следовательно, искомую прямую можно получить как общую касательную к окружностям $$ (O;OC) $$ и $$ (M;P_2Q_2) $$.

Теперь найдём значения $$x$$ и $$y$$.

а) Из равенства векторов

$$xi+yj=5i-2j$$

получаем:

$$x=5,\quad y=-2.$$

б) Из равенства

$$-3i+yj=xi+7j$$

сравниваем коэффициенты при $$i$$ и $$j$$:

$$x=-3,\quad y=7.$$

в) Из равенства

$$xi+yj=-4i$$