Упр.919 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
2. Выпишите координаты векторов $$\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j},\ \mathbf{b}=-\frac{1}{2}\mathbf{i}+2\mathbf{j},\ \mathbf{c}=8\mathbf{i},\ \mathbf{d}=\mathbf{i}-\mathbf{j},\ \mathbf{e}=-2\mathbf{j},\ \mathbf{f}=-\mathbf{i}.$$

Обозначим основания перпендикуляров: $$E\in AB,\quad F\in AC,\quad G\in BC,$$ причём $$DE\perp AB,\quad DF\perp AC,\quad DG\perp BC.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$AEFD.$$

Так как $$DE\perp AB$$ и $$DF\perp AC,$$ то

$$\angle AED=90^\circ,\qquad \angle AFD=90^\circ,$$

следовательно, точки $$A,E,F,D$$ лежат на одной окружности. Тогда равны углы, опирающиеся на одну и ту же дугу:

$$\angle AFE=\angle ADE.$$

Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$DFCG.$$

Поскольку $$DF\perp AC$$ и $$DG\perp BC,$$ имеем

$$\angle DFC=90^\circ,\qquad \angle DGC=90^\circ,$$

значит, точки $$D,F,C,G$$ лежат на одной окружности, откуда

$$\angle CFG=\angle CDG.$$

Теперь рассмотрим вписанный четырёхугольник $$ABCD.$$ Тогда

$$\angle BAD+\angle DCB=180^\circ.$$

Так как $$\angle DCG$$ и $$\angle DCB$$ — смежные, то

$$\angle DCG=180^\circ-\angle DCB.$$

С другой стороны, из равенства $$\angle AFE=\angle ADE$$ и того, что $$\angle ADE=90^\circ-\angle BAD,$$ получаем

$$\angle AFE=90^\circ-\angle BAD.$$

Но из $$\angle BAD+\angle DCB=180^\circ$$ следует

$$90^\circ-\angle BAD=\angle DCB-90^\circ.$$

Удобнее записать через углы при точке $$D$$:

$$\angle EAD=90^\circ-\angle BAD=90^\circ-(180^\circ-\angle DCB)=\angle DCB-90^\circ.$$

Тогда

$$\angle EAD=\angle DCG.$$

Следовательно,

$$\angle AFE=\angle CFG,$$

то есть прямые $$EF$$ и $$FG$$ совпадают. Значит, точки $$E,F,G$$ лежат на одной прямой.

Ответ: основания перпендикуляров лежат на одной прямой.