Упр.918 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Для неравностороннего треугольника $$ABC$$ точка $$O$$ является центром описанной окружности, $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, точки $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$ — середины отрезков $$AH$$, $$BH$$, $$CH$$, а точки $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$A_2$$, $$B_2$$, $$C_2$$, $$A_3$$, $$B_3$$, $$C_3$$ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).
Разложите векторы $$\vec a$$, $$\vec b$$, $$\vec c$$, $$\vec d$$, $$\vec e$$ и $$\vec f$$, изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам $$\vec i$$ и $$\vec j$$ и найдите их координаты.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$OH$$. Проведём через $$M$$ прямую, параллельную $$AC$$. Обозначим точки её пересечения с прямыми $$BH$$, $$AH$$, $$CH$$ через $$B_3$$, $$A_3$$, $$C_3$$ соответственно.

Так как $$HB_1 \parallel MN \parallel OB_3$$, то по теореме Фалеса получаем, что $$B_1N = NB_3$$. Следовательно, $$\triangle B_1MN \cong \triangle B_3MN$$ по двум катетам, откуда $$MB_1 = MB_3$$.

Рассмотрим точку $$B_4$$, симметричную точке $$H$$ относительно прямой $$AC$$. Тогда в треугольнике $$OHB_4$$ отрезок $$MB_1$$ является средней линией, значит

$$MB_1=\frac{OB_4}{2}.$$

Но точка $$B_4$$ лежит на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, поэтому $$OB_4=R$$. Значит,

$$MB_1=\frac{R}{2}.$$

Аналогично, поскольку $$MB_2$$ — средняя линия треугольника $$BOH$$, имеем

$$MB_2=\frac{OB}{2}=\frac{R}{2}.$$

Следовательно,

$$MB_1=MB_2=MB_3=\frac{R}{2}.$$

Точно так же получаем

$$MA_1=MA_2=MA_3=\frac{R}{2},$$

$$MC_1=MC_2=MC_3=\frac{R}{2}.$$

Итак, все точки $$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3$$ равноудалены от точки $$M$$, значит, они лежат на одной окружности с центром в $$M$$ и радиусом $$\frac{R}{2}$$.

Ответ

Точки $$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3$$ лежат на одной окружности — окружности Эйлера, центр которой находится в середине отрезка $$OH$$, а радиус равен $$\frac{R}{2}$$.