Упр.917 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в любом треугольнике радиус $$R$$ описанной окружности, радиус $$r$$ вписанной окружности и расстояние $$d$$ между центрами этих окружностей связаны равенством $$d^2=R^2-2Rr$$ (формула Эйлера).
- Начертите прямоугольную систему координат $$Oxy$$ и координатные векторы $$\vec{i}$$ и $$\vec{j}$$. Постройте векторы с началом в точке $$O$$, заданные координатами: $$\vec{a}=(3;0)$$, $$\vec{b}=(2;-1)$$, $$\vec{c}=(0;-3)$$, $$\vec{d}=(1;1)$$, $$\vec{e}=(2;\sqrt{2})$$.
Обозначим центр описанной окружности через $$O$$, а центр вписанной окружности — через $$M$$. Пусть $$d=OM$$.
Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности и биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ точки пересечения этих биссектрис с описанной окружностью.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для точки $$M$$ получаем:
$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$
Так как $$PM=R+d$$, а $$MQ=R-d$$, то
$$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1.$$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BMA_1=\frac{\angle BA_1C+\angle CB_1A}{2}=\angle MBA_1,$$
следовательно, $$\triangle MA_1B$$ равнобедренный, и потому
$$AM\cdot BA_1=AM\cdot A_1B.$$
Проведём диаметр $$A_1A_2$$ описанной окружности; пусть $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle AMK$$ — прямоугольные, а также
$$\angle A_1A_2B=\angle MAK=\frac{1}{2}\angle B A_1 A,$$
поэтому $$\triangle A_1A_2B \sim \triangle AMK$$.
Из подобия получаем
$$\frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2}.$$
Так как $$MK=r$$, $$A_1A_2=2R$$, то
$$AM\cdot BA_1=2Rr.$$
Следовательно,
$$(R+d)(R-d)=2Rr.$$
Раскрывая скобки, получаем
$$R^2-d^2=2Rr,$$
откуда
$$d^2=R^2-2Rr.$$
Ответ: $$d^2=R^2-2Rr$$.
