Упр.916 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
2. Векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны. Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие равенству:
   а) $$3a-xb=ya+b$$;
   б) $$4a-xa+5b+yb=0$$;
   в) $$xa+3b-yb=0$$;
   г) $$a+b-3ya+xb=0$$.

Обозначим стороны и диагонали четырёхугольника $$ABCD$$, вписанного в окружность. Проведём диагональ $$AC$$ и отметим на ней точку $$E$$ так, чтобы

$$\angle ABE=\angle DBC.$$

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то

$$\angle BAE=\angle BCD.$$

Следовательно, треугольники $$ABE$$ и $$DBC$$ подобны по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD},$$

откуда

$$AB\cdot CD=AE\cdot BD.$$

Далее рассмотрим углы

$$\angle BCE=\angle BDA,$$

так как они опираются на одну и ту же дугу $$BA$$.

Кроме того,

$$\angle EBC=\angle ABD=\angle ABE+\angle EBD.$$

Значит, треугольники $$BCE$$ и $$BDA$$ подобны по двум углам. Поэтому

$$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{AD},$$

откуда

$$BC\cdot AD=CE\cdot BD.$$

Сложим полученные равенства:

$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AE\cdot BD+CE\cdot BD.$$

Вынесем $$BD$$ за скобки:

$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=(AE+CE)\cdot BD.$$

Так как точки $$A,E,C$$ лежат на одной прямой, то

$$AE+CE=AC.$$

Следовательно,

$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.