Упр.915 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
2. Точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$, причём $$AM:MC=4:1$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{AM}$$ по векторам $$\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$$ и $$\mathbf{b}=\overrightarrow{AD}$$.

Пусть высота прямоугольной трапеции равна $$h$$, а основания — $$AD$$ и $$BC$$. Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=AD+BC.$$

В прямоугольной трапеции $$AB\perp AD$$, значит $$AB=h$$. Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CK=h$$, а также

$$KD=AD-BC.$$

В прямоугольном треугольнике $$CKD$$ по теореме Пифагора:

$$CD^2=CK^2+KD^2=h^2+(AD-BC)^2.$$

С другой стороны, из равенства $$AB+CD=AD+BC$$ получаем

$$CD=AD+BC-h.$$

Подставим это в формулу для $$CD^2$$:

$$h^2+(AD-BC)^2=(AD+BC-h)^2.$$

Раскроем скобки:

$$h^2+AD^2-2AD\cdot BC+BC^2 =AD^2+2AD\cdot BC+BC^2-2h(AD+BC)+h^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2h(AD+BC)=4AD\cdot BC.$$

Отсюда

$$h(AD+BC)=2AD\cdot BC.$$

Площадь трапеции равна

$$S=\frac{(AD+BC)h}{2}=\frac{2AD\cdot BC}{2}=AD\cdot BC.$$

Что и требовалось доказать.