Упр.914 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В четырёхугольнике $$ABCD$$, вписанном в окружность, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$CD=BC+AD$$.
2. Докажите, что если векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны, то:
   а) векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ не коллинеарны;
   б) векторы $$2a-b$$ и $$a+b$$ не коллинеарны;
   в) векторы $$a+b$$ и $$a+3b$$ не коллинеарны.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

1. Докажем, что $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.

   Предположим противное: $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

   $$\vec a+\vec b=k(\vec a-\vec b).$$

   Перенесём слагаемые:

   $$\vec a-k\vec a=-\vec b-k\vec b,$$

   $$\vec a(1-k)=\vec b(-1-k).$$

   Отсюда $$\vec a$$ выражается через $$\vec b$$, то есть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Это противоречит условию. Значит, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.

2. Докажем, что $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ не коллинеарны.

   Предположим, что они коллинеарны. Тогда

   $$2\vec a-\vec b=k(\vec a+\vec b).$$

   Получаем

   $$2\vec a-k\vec a=\vec b+k\vec b,$$

   $$\vec a(2-k)=\vec b(1+k).$$

   Следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, что невозможно. Значит, $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ не коллинеарны.

3. Докажем, что $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ не коллинеарны.

   Предположим противное: существует число $$k$$, для которого

   $$\vec a+\vec b=k(\vec a+3\vec b).$$

   Тогда

   $$\vec a-k\vec a=3k\vec b-\vec b,$$

   $$\vec a(1-k)=\vec b(3k-1).$$

   Значит, $$\vec a$$ выражается через $$\vec b$$, то есть они коллинеарны. Противоречие. Следовательно, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ не коллинеарны.

Во всех трёх случаях получено противоречие с условием неколлинеарности векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$.