Упр.913 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
2. Векторы $$a$$ и $$b$$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) $$a+3b$$ и $$a$$; б) $$b-2a$$ и $$a$$? Ответ обоснуйте.

Пусть диагонали вписанного четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$, а $$AA’$$ — диаметр описанной окружности.

Так как диагонали перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$. Тогда в прямоугольных треугольниках с катетами, лежащими на диагоналях, по теореме Пифагора получаем:

$$AB^2=AE^2+BE^2,$$

$$BC^2=BE^2+CE^2,$$

$$CD^2=CE^2+DE^2,$$

$$AD^2=AE^2+DE^2.$$

Сложим первые и третьи, а также вторые и четвёртые равенства:

$$AB^2+CD^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2,$$

$$AD^2+BC^2=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2.$$

Значит,

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$$

Теперь проведём диаметр $$AA’$$. Тогда треугольники $$ABA’$$ и $$ADA’$$ прямоугольные, так как опираются на диаметр.

Из свойств вписанных углов:

$$\angle DBA’ = 90^\circ-\angle ABD = \angle ACD = \angle CDB,$$

$$\angle CDB = \angle DBA’.$$

Кроме того, $$DB$$ — общая сторона. Следовательно, $$\triangle DBC \cong \triangle BDA’$$ по второму признаку равенства треугольников, откуда

$$BA’=CD.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABA’$$:

$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2.$$

Но $$AA’$$ — диаметр описанной окружности, значит

$$AB^2+CD^2=(2R)^2,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB^2+CD^2=(2R)^2.$$