Упр.912 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Произвольная точка $$X$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других отрезков.
Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, $$M$$ — середина отрезка $$AO$$. Найдите, если это возможно, такое число $$k$$, чтобы выполнялось равенство:
а) $$AC=kAO$$;
б) $$BO=kBD$$;
в) $$OC=kCA$$;
г) $$AB=kDC$$;
д) $$BC=kDA$$;
е) $$AM=kCA$$;
ж) $$MC=kAM$$;
з) $$AC=kCM$$;
и) $$AO=kBD$$.

Подробный ответ

Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то $$AO=OC,\quad BO=OD.$$

Рассмотрим каждое равенство отдельно.

$$AC=kAO.$$
Так как точки $$A,O,C$$ лежат на одной прямой и $$O$$ — середина $$AC$$, то
$$AC=2AO,$$
значит,
$$k=2.$$
$$BO=kBD.$$
В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому
$$BO=\frac12 BD,$$
следовательно,
$$k=\frac12.$$
$$OC=kCA.$$
Точки $$O,C,A$$ коллинеарны, причём $$O$$ — середина $$AC$$, значит
$$OC=\frac12 CA.$$
Но отрезки $$OC$$ и $$CA$$ направлены в противоположные стороны, поэтому
$$k=-\frac12.$$
$$AB=kDC.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны:
$$AB=DC,$$
значит,
$$k=1.$$
$$BC=kDA.$$
Аналогично,
$$BC=DA,$$
но направления противоположны, поэтому
$$k=-1.$$
$$AM=kCA.$$
По условию $$M$$ — середина $$AO$$, значит
$$AM=\frac12 AO=\frac14 AC.$$
Так как $$CA$$ направлен противоположно $$AM$$, получаем
$$k=-\frac14.$$
$$MC=kAM.$$
Точки $$A,M,O,C$$ лежат на одной прямой, причём
$$AM=\frac14 AC,\quad MC=\frac34 AC,$$
поэтому
$$MC=3\,AM,$$
следовательно,
$$k=3.$$
$$AC=kCM.$$
Здесь $$AC$$ и $$CM$$ направлены противоположно, а
$$|CM|=\frac34|AC|.$$
Значит,
$$k=-\frac43.$$
$$AO=kBD.$$
Так как $$AO$$ и $$BD$$ — неколлинеарные отрезки, то такое число $$k$$ не существует.