Упр.909 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть $$BC=a,$$ $$CA=b,$$ $$AB=c.$$ Обозначим через $$\vec i,\ \vec j,\ \vec k$$ единичные векторы, направленные соответственно вдоль прямых $$CB,\ CA,\ BA.$$ Тогда

$$\overrightarrow{CB}=a\vec i,\qquad \overrightarrow{CA}=b\vec j,\qquad \overrightarrow{BA}=c\vec k.$$

По теореме о биссектрисе внешнего угла для точки $$A_1$$ имеем

$$\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.$$

Так как $$A_1\in BC,$$ то

$$CA_1=\frac{ab}{b-c},\qquad \overrightarrow{CA_1}=\frac{ab}{b-c}\vec i.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{CB_1}=\frac{ab}{a-c}\vec j,\qquad \overrightarrow{BC_1}=\frac{ac}{a-b}\vec k.$$

Тогда

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{BC}=\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i.$$

Из замкнутости треугольника получаем

$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec 0,$$

то есть

$$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0.$$

Докажем, что точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что их радиус-векторы линейно зависимы, то есть существуют числа $$k,\ l,\ m,$$ не все равные нулю, такие что

$$k\overrightarrow{CA_1}+l\overrightarrow{CB_1}+m\overrightarrow{CC_1}=\vec 0,$$

и одновременно

$$k+l+m=0.$$

Положим $$m=1.$$ Тогда из равенства

$$k\frac{ab}{b-c}\vec i+l\frac{ab}{a-c}\vec j+\left(\frac{ac}{a-b}\vec k+a\vec i\right)=\vec 0$$

и соотношения $$a\vec i-b\vec j+c\vec k=\vec 0$$ получаем систему

$$\begin{cases} k\frac{ab}{b-c}+a=0,\\ l\frac{ab}{a-c}-b=0,\\ \frac{ac}{a-b}=c,\\ k+l+1=0. \end{cases}$$

Отсюда

$$k=-\frac{b-c}{b},\qquad l=\frac{a-c}{a},\qquad k+l+1=0.$$

Следовательно, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.

Ответ: точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ коллинеарны.