Упр.908 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
2. Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Пусть через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам внутренних углов при этих вершинах. Обозначим точки их попарных пересечений через $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$.

Докажем, что эти точки лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.

Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла, то:

• $$A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$;
• $$A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$B$$;
• $$B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при $$A$$.

Из свойства биссектрисы следует, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Значит:

• точка $$B_2$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$BC$$;
• точка $$C_2$$ равноудалена от прямых $$AC$$ и $$BC$$;
• точка $$A_2$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$AC$$.

Следовательно, точка $$A_2$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, точка $$B_2$$ — на биссектрисе угла $$B$$, а точка $$C_2$$ — на биссектрисе угла $$C$$.

Значит, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.