Упр.907 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка М так, что уголBMC = 30°, уголBMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ. Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + l + m = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство kOA + lOВ + mОС = 0.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Пусть окружность с центром в точке $$A$$ проходит через точки $$B$$ и $$C$$. Тогда $$AB=AC$$, а значит, $$\triangle ABC$$ равносторонний, и точка $$M$$ лежит на этой окружности, поскольку

$$\angle BMC=\frac12 \overset{\frown}{BC}=30^\circ.$$

Следовательно, $$AM=AB=AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Он равнобедренный, так как $$AM=AB$$, значит, его углы при основании равны:

$$\angle ABM=\angle BMA=17^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAM=180^\circ-17^\circ-17^\circ=146^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Он тоже равнобедренный, так как $$AM=AC$$. Угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle MAC=\angle MAB+\angle BAC=17^\circ+30^\circ=47^\circ.$$

Значит, углы при основании равны:

$$\angle MCA=\angle ACM=\frac{180^\circ-47^\circ}{2}=66.5^\circ,$$

но для нахождения $$\angle BCM$$ удобнее использовать разложение угла:

$$\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM.$$

Так как $$\angle BCA=60^\circ$$, а $$\angle ACM=47^\circ$$, получаем

$$\angle BCM=60^\circ+47^\circ=107^\circ.$$

Ответ: $$\angle BAM=146^\circ,\ \angle BCM=107^\circ.$$

Доказательство

Необходимость. Пусть точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой. Возьмём произвольную точку $$O$$ и введём единичный вектор $$\vec e$$, параллельный прямой $$ABC$$. Тогда векторы $$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$$ можно разложить на составляющие вдоль $$\vec e$$ и перпендикулярно ей:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE},\quad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE},\quad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE}.$$

Пусть числа $$k,l,m$$ таковы, что

$$k+l+m=0.$$

Тогда

$$ k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’} +(k+l+m)\overrightarrow{OE}. $$

Так как $$k+l+m=0$$, то перпендикулярная составляющая равна нулю. Остаётся выбрать $$k,l,m\neq 0$$ так, чтобы

$$k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}=\vec 0.$$

Это возможно, например, при

$$k=1,\quad l=-\frac{AB}{BC}-1,\quad m=\frac{AB}{BC},$$

и тогда действительно

$$k+l+m=0,$$

а также

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Достаточность. Пусть существуют числа $$k,l,m\neq 0$$ такие, что

$$k+l+m=0$$

и для любой точки $$O$$ выполняется

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Предположим, что точки $$A,B,C$$ не лежат на одной прямой. Тогда векторы $$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$$ можно рассматривать как аффинно независимые, и равенство

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0$$

при $$k+l+m=0$$ возможно только в случае коллинеарности точек $$A,B,C$$. Противоречие. Значит, точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой.

Следовательно, утверждение доказано: точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют $$k,l,m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$