Упр.907 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Внутри угла $$\angle ABC$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$ так, что $$\angle BMC=30^\circ$$, $$\angle BMA=17^\circ$$. Найдите углы $$\angle BAM$$ и $$\angle BCM$$.
- Докажите следующее утверждение: три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k$$, $$l$$ и $$m$$, одновременно не равные нулю, такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется равенство $$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=0$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то
$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$
Рассмотрим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$AB$$. Тогда точки $$B$$ и $$C$$ лежат на этой окружности, поскольку $$AB=AC$$.
Из условия $$\angle BMC=30^\circ$$ следует, что дуга $$BC$$, на которую опирается этот вписанный угол, равна $$60^\circ$$. Значит, точка $$M$$ лежит на той же окружности, а треугольник $$AMC$$ равнобедренный, так как $$AM=AC$$.
Обозначим через $$D$$ точку пересечения прямой $$BA$$ с окружностью, отличную от $$B$$. Тогда $$DB$$ — диаметр окружности, поэтому
$$\angle DCB=90^\circ.$$
Так как $$\angle BMA=17^\circ$$ и $$AM=AB$$, то треугольник $$ABM$$ равнобедренный, следовательно,
$$\angle ABM=\angle BMA=17^\circ.$$
Тогда
$$\angle BAM=180^\circ-17^\circ-17^\circ=146^\circ.$$
Теперь найдём угол $$\angle AMC$$. В треугольнике $$AMC$$ имеем $$AM=AC$$, значит, он равнобедренный, и
$$\angle AMC=\angle MCA.$$
При этом
$$\angle AMB=\angle BMA=17^\circ,$$
а также
$$\angle BMC=30^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle AMC=\angle AMB+\angle BMC=17^\circ+30^\circ=47^\circ.$$
Тогда в равнобедренном треугольнике $$AMC$$
$$\angle MCA=47^\circ.$$
И наконец,
$$\angle BCM=\angle BCA+\angle ACM=60^\circ+47^\circ=107^\circ.$$
Ответ
$$\angle BAM=146^\circ,\quad \angle BCM=107^\circ.$$
