Упр.906 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности с центром $$O$$. На каждом радиусе $$OM$$ окружности отложен от центра $$O$$ отрезок, равный расстоянию от конца $$M$$ этого радиуса до прямой $$AB$$. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
- Дан треугольник $$ABC$$. Докажите, что вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ направлен вдоль биссектрисы угла $$A$$, а вектор $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.
Обозначим через $$M$$ произвольную точку окружности, а через $$H$$ — основание перпендикуляра из $$M$$ на прямую $$AB$$. Тогда по условию
$$OD=MH.$$
Пусть $$AB=2R$$, тогда радиус окружности равен $$R$$. Введём координаты: центр окружности $$O(0,0)$$, прямая $$AB$$ — ось $$Ox$$. Тогда точка $$M$$ на окружности имеет координаты
$$M(R\cos\alpha,\;R\sin\alpha).$$
Так как расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AB$$ равно $$MH=R\sin\alpha$$, то
$$OD=R\sin\alpha.$$
Следовательно, точка $$D$$ лежит на радиусе $$OM$$ на расстоянии $$R\sin\alpha$$ от центра. Её координаты имеют вид
$$D\bigl(R\cos\alpha\cdot \sin\alpha,\;R\sin^2\alpha\bigr).$$
Используем тождество $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$ и выразим координаты через параметр $$x=\cos\alpha$$, $$y=\sin\alpha$$. Тогда для точки $$D$$ выполняется
$$x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\left(\frac12\right)^2.$$
Значит, множество всех точек $$D$$ состоит из двух окружностей, симметричных относительно прямой $$AB$$, с центрами в точках, лежащих на перпендикуляре к $$AB$$ через $$O$$, и радиусом $$\frac{R}{2}$$.
Ответ: две окружности с центрами на перпендикуляре к $$AB$$ через $$O$$ и радиусом $$\frac{R}{2}$$.
