Упр.906 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков. Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB/|AB|=AC/|AC| направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор AB/|AB|-AC/|AC| — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.

1) Пусть $$M$$ — произвольная точка окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$. Опустим из $$M$$ перпендикуляр $$MH$$ на прямую $$AB$$. Тогда по условию

$$OD=MH.$$

Если обозначить $$\angle BOM=\alpha$$, то в прямоугольном треугольнике $$OMH$$ имеем

$$MH=OM\sin\alpha=R\sin\alpha.$$

Следовательно,

$$OD=R\sin\alpha.$$

Пусть координаты точки $$M$$ на окружности заданы так: $$x=\cos\alpha,\ y=\sin\alpha$$. Тогда для точки $$D$$ получаем

$$x^2+y^2=1,\qquad OD=R\sin\alpha.$$

Из геометрического смысла построения следует, что множество точек $$D$$ состоит из двух окружностей, симметричных относительно прямой $$AB$$, с центрами на расстоянии $$\dfrac{R}{2}$$ от этой прямой и радиусом $$\dfrac{R}{2}$$.

2) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Обозначим

$$\vec{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|},\qquad \vec{v}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}.$$

Тогда $$\vec{u}$$ и $$\vec{v}$$ — единичные векторы, направленные вдоль сторон $$AB$$ и $$AC$$.

Вектор

$$\vec{u}+\vec{v}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$

направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $$A$$, так как сумма двух единичных векторов, образующих угол при вершине $$A$$, лежит на биссектрисе этого угла.

Аналогично вектор

$$\vec{u}-\vec{v}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$

направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$, поскольку это сумма векторов $$\vec{u}$$ и $$-\vec{v}$$, а векторы $$\vec{u}$$ и $$-\vec{v}$$ — единичные и образуют внешний угол при вершине $$A$$.

Ответ

Множество точек $$D$$ — две окружности радиуса $$\dfrac{R}{2}$$ с центрами, лежащими на прямой, параллельной $$AB$$, на расстоянии $$\dfrac{R}{2}$$ от неё по обе стороны.

Вектор $$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $$A$$, а вектор $$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.