Упр.905 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Через точку $$A$$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $$B$$, а другую — в точке $$C$$. Докажите, что отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.
Задание учебника 2023 года. Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и точка $$O$$. Точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ и $$H$$ симметричны точке $$O$$ относительно середин сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $$EFGH$$?

Подробный ответ

Решение

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$ соответственно. Тогда точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, значит $$M, N, P, Q$$ — середины отрезков $$OE, OF, OG, OH$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. Пусть

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}=\vec c,\quad \overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QA}=\vec d.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB},$$

откуда

$$2\vec a=-2\vec d-2\vec c-2\vec b,$$

то есть

$$\vec a+\vec b=-(\vec c+\vec d).$$

Следовательно, $$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{QP}$$, значит $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$. Поэтому $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Так как $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, то $$M, N, P, Q$$ — середины сторон четырёхугольника $$EFGH$$.

В треугольнике $$OEF$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины сторон $$OE$$ и $$OF$$, значит $$MN$$ — средняя линия:

$$EF=2MN,\quad MN \parallel EF.$$

Аналогично, в треугольниках $$OFG$$, $$OGH$$ и $$OHE$$ получаем:

$$FG=2NP,\quad FG \parallel NP,$$